2017.9.27 第一次更新

集合的基本表达

$A\subset B$

$A\subseteq B$
$A \bigcap B$
$A\bigcup B$

集合的基本运算

~ $(A\bigcap B)$ = ~ $A\bigcup$ ~$B$
~ $(A\bigcup B)$ = ~ $A\bigcap$ ~$B$

若 $A\subseteq B$ ,$x\in A$, 则有$x\in B$。但$x\in B$ 不能推得$x\in A$。

集合与逻辑关系

逻辑上的衍推关系:设$U$为全集,若$U>B$,$A\subseteq B$,则~$B\subseteq$~$A$。

逻辑上的预设关系:设$U$为全集,若$U=B$,$A\subseteq B$,则~$A\subseteq B$。
Eg. 天气不好,也去散步。(让步复句)

关键在于全集的大小。

命题逻辑和谓词逻辑

已知$A$,$B$是两个命题。

1 2 3
$A$ & $B\longrightarrow$ 合取 $A\bigwedge B$
A或B 析取 $A\bigvee B$
A推出B 衍推 ~B 推出~A ☆实质蕴涵 不能推出 $A\subseteq B$ 。
~A 否定
A和B可以互相推导出 相等 $(A\rightarrow B)$& $(B\rightarrow A)$

实质蕴涵:
如果国庆节不放假,那么太阳从东边出来。
如果国庆节不放假,那么太阳从西边出来。

蕴涵只考虑前件和后件的真值关系,支命题的具体内容和是否有联系不予考虑。这样的蕴涵叫做实质蕴涵(material implication)。
实质蕴涵有两个特点:

  1. 真命题可以被任何命题(真的或假的)所蕴含;
  2. 假命题可以蕴含任何命题。